■一番きれいな三角形とは
数学の中でも、代数幾何学という分野の研究をしています。
ごくおおざっぱに言って、代数学は数や式などの対象を研究する分野、幾何学は図形などの性質を研究する分野です。図形などの幾何学的対象を、数や式の性質を目いっぱい使って「代数的」に研究するのが代数幾何学です。その際、重要になってくるのは対称性という概念です。
図①を見てください。これらの三角形の中から、「一番形が『きれいな三角形』を選んでください」と言われたら、どれを選びますか？
好みは人それぞれなので一概には言えないかもしれませんが、右から２番めの正三角形が一番「きれい」「美しい」と感じますよね。それは三角形たちの中で、正三角形が対称性を一番たくさん持っているからです。
正三角形は対称軸が３本あって、それぞれの軸に関する折返しで対称です。さらに、正三角形の重心を軸に１２０度回転、２４０度回転で形が不変という回転対称性もあります。
図形を不変にする操作を「合同変換」といいます。正三角形の合同変換を実際に書き出してみましょう。
図②の左のように、正三角形の各頂点に１、２、３と番号をつけて、対称軸ℓに関する折返しを「ａ１」、対称軸ｍに関する折返しを「ａ２」、対称軸ｎに関する折返しを「ａ３」と名前を付けます。
また、重心を中心とした反時計回りの１２０度回転を「ｂ１」、２４０度回転を「ｂ２」、３６０度回転（＝何も動かさない）を「ｅ」と表します。
すると、正三角形の合同変換は「ｅ」「ａ１」「ａ２」「ａ３」「ｂ１」「ｂ２」の計６つです。
一方、図②の右の二等辺三角形は、対称軸Ｌに関する折返しを「ａ」と名付けた場合、「ａ」では不変ですが、他に対称軸はありません。
また、３６０度回転（＝何も動かさない＝ｅ）以外の回転対称性もありません。よって二等辺三角形の合同変換は「ｅ」「ａ」の二つです。
正三角形の合同変換は６つあったのに比べると、少ないですね。つまり、たくさんの合同変換をもつ図形のほうが対称性が高いと言えます。
正三角形の合同変換からなる集合をＧとすると、Ｇ＝｛ｅ、ａ１、ａ２、ａ３、ｂ１、ｂ２｝と記すことができます。実は、集合Ｇは数学で「群」と言われるものになっています。群としてのＧは３次対称群と呼ばれます。
このように対称性は群で表すことができます。群は代数学や幾何学の研究において重要なツールの一つです。みなさんも群を使ってさまざまな幾何の研究をしてみませんか？
